Vom wissenschaftlichen Standpunkt her, handelt es sich bei Schwarzen L?chern um L?sungen der Einsteinschen Feldgleichungen der Gravitation f?r den Vakuumfall (sieht man mal von geladenen L?chern ab). Albert Einstein hat diese Feldgleichungen im Rahmen der Allgemeinen Relativit?tstheorie (ART), die seinerzeit die Newtonsche Theorie abl?ste, formuliert. Die ART ist trotzdem eine klassische Theorie, weil sie nicht der Quantennatur der Teilchen und des Lichts (die im Dualismus vereint sind) Rechnung tr?gt. Es gibt weder einen diskreten Quantencharakter, noch eine Unsch?rfe (von Ort versus Impuls oder Energie versus Zeit) in der Relativit?tstheorie. Diese Synthese der grossen physikalischen Theorien des 20. Jahrhunderts, Relativit?tstheorie und Quantentheorie, steht noch aus.
Die Feldgleichungen der ART sind Tensorgleichungen und l?sten die Vektorgleichungen von der Newtonschen Theorie ab. In beiden F?llen ist eine sehr kompakte, mathematische Schreibweise gelungen, die eine tiefere Einsicht in die Natur verleiht. Tensoren sind geometrische Objekte, die durch ihr Transformationsverhalten definiert sind. Die mathematische Beschreibung ist im Rahmen der Differentialgeometrie m?glich. Man kann Tensoren mit physikalischen Gr?ssen, wie Energie (Energie-Impuls Tensor), Kr?mmung (Riemannscher Kr?mmungstensor), Raumzeit (metrischer Tensor), elektromagnetischem Feld (Maxwell-Tensor) etc. in Zusammenhang bringen. Das Kalk?l ist eine Tensoralgebra und eine Tensoranalysis, die die Tensoren zueinander in Relation bringt. Einstein selbst war diese Form des Rechnens nicht bekannt, obschon sie in der Mathematik der damaligen Zeit bereits verwendet wurde. Sein Freund und Mathematiker Marcel Grossmann (1878-1936), mit dem er die ETH Z?rich besuchte, brachte ihm die Tensorrechnung bei. Denn er kannte die Arbeiten des
deutschen Physikers und Mathematikers Elwin Bruno Christoffel (1829-1900), der die Tensoranalysis begr?ndete und die nach ihm benannten Christoffel-Symbole einf?hrte. Auf Basis seiner Arbeit entwickelten Ricci und Levi-Civita einen koordinatenfreien Zugang der Differentialrechnung.
Der italienische Mathematiker Gregorio Ricci-Curbastro (1853-1925) arbeitete u.a. auf dem Gebiet der Differentialgeometrie, die er haupts?chlich zwischen 1884 und 1894 entwickelte, sowie
sein Student, der italienische Mathematiker Tullio Levi-Civita (1873-1941) erweiterte die Tensorrechnung, behandelte 1887 die kovariante Ableitung (Christoffel folgend) und mit Ricci um 1900 die Differentialrechnung.
Oft handelt es sich bei den physikalischen Gr?ssen der ART um Tensoren 2. Stufe, die man als 4 x 4 Matrix (eine Anordnung von 16 Zahlen oder Funktionen in vier Spalten und vier Zeilen) schreiben kann und damit eine vertraute Gestalt bekommen. Physikalische Tensoren sind in der Regel symmetrisch. F?r eine 4 x 4 Matrix heisst das, dass nur 10 Komponenten (obere oder untere Dreiecksform) unabh?ngig sind, weil die anderen durch die Symmetrieeigenschaften festgelegt sind. Dies gilt auch f?r den metrischen Tensor, der alternativ auch durch das Linienelement beschreiben werden kann.
Die Einsteinschen Feldgleichungen sind gerade deshalb ein System von zehn nicht-linearen, gekoppelten, partiellen Differentialgleichungen. Auf der linken Seite steht der Einstein-Tensor, der gerade zweite Ableitungen der Metrik enth?lt; auf der rechten Seite steht der Energie-Impuls-Tensor, der die Materie (Staub, ideales Fluidum, elektromagnetisches Feld) beschreibt. Im Vakuumfall, also in Abwesenheit von Materie, verschwindet der Energie-Impuls-Tensor. Dies ist gerade f?r ungeladene Schwarze L?cher realisiert. Daher nennt man sie Vakuuml?sungen der Einsteinschen Feldgleichungen.
Es bleibt also das Problem, den Einstein-Tensor zum Verschwinden zu bringen. Es gibt bei diesem Problem aus gekoppelten nicht-linearen, partiellen Differentialgleichungen keine direkte L?sungsmethode, die sofort alle L?sungen des Problems liefert. Aus diesem Grund wurden die Vakuuml?sungen historisch nach und nach und eher zuf?llig gefunden. Wie Mazur und Mottola k?rzlich (2002) zeigen konnten, gibt es nach wie vor L?sungen, die sogar neue Eigenschaften aufweisen (Regularit?t!). Doch gibt es in der Numerischen Relativit?tstheorie mittlerweile Verfahren, um das Wiederentdecken einer bereits bekannten L?sung in m?glicherweise anderen Koordinaten zu verhindern. So werden Anstrengungen unternommen die L?sungen der Feldgleichungen der Gravitation zu systematisieren. Im ?quivalenzproblem geht es darum zu entscheiden, ob zwei Metriken g und g' ?bereinstimmen. A. Karlhede hat diese Problematik entscheidend vorangebracht, indem er die Geometrien mit Basissystemen, dem sog. Vierbein (Tetrade), systematisiert. Solche Anstrengungen vermeiden, dass bereits bekannte L?sungen "wiederentdeckt" werden, wie es bei der Schwarzschild-L?sung nachweislich mindestens zwanzigmal geschehen ist.
Die Petrov-Klassifikation basiert auf den Symmetrieeigenschaften des Weyl-Tensors, einem Tensor vierter Stufe, der sich als komplizierte Summe aus Termen mit dem Riemannschen Kr?mmungstensor und dessen Verj?ngungen, dem Ricci-Tensor und dem Ricci-Skalar zusammensetzt.
Man verwendet bei Evaluierung des Petrov-Typs den Newman-Penrose Tetraden-Formalismus, der f?nf komplexe, skalare Gr?ssen, die Weyl-Skalare, liefert. Diese legen den Weyl-Tensor eindeutig fest. Die Weyl-Skalare sind Wurzeln der Petrov-Gleichung. Je nachdem, welche verschwinden, legt dies den Petrov-Typ fest. Man unterscheidet Typ I, II, D, III. Penrose schlug eine Dreieckshierarchie der Petrov-Typen vor, die die Raumzeiten in ihren Spezialisierungen unterscheidet: in der Spitze des Dreiecks ist die Spezialisierung minimal, unten rechts ist sie maximal. Alle prominenten Vakuum-L?sungen der Feldgleichungen f?r Schwarze L?cher sind Petrov-Typ D.
?hnliche Schemata existieren f?r Nicht-Vakuum-Raumzeiten, die Plebanski-Typologie und Karlhede-Klassifikation heissen. Ziel dieser Klassifikationen ist eine Systematisierung der Raumzeiten der ART, um den L?sungsraum ?bersichtlicher zu machen und eventuell tiefere Einsichten in die Physik der Raumzeiten zu bekommen.
Eine weitere Klassifikationsm?glichkeit bietet die Diskussion der Symmetrieeigenschaften einer Metrik. Das Studium der Symmetrien von Raumzeiten im Rahmen der Allgemeinen Relativit?tstheorie ist ebenso erfolgreich, wie das Studium von Symmetrien generell in der Physik (Noether-Theorem). Es gilt dabei, alle Koordinatentransformationen zu untersuchen, die die Metrik (form)invariant lassen. Solche Koordinatentransformationen nennt man Isometrien (iso, grch. "gleich"; metros, grch. "Mass"). Infinitesimale Koordinatentransformationen mit einem additiven Zusatzterm in Form eines Vektorfelds f?hren dabei auf die so genannte Lie-Ableitung. Verschwindet die Lie-Ableitung des metrischen Tensors, so liegt eine Isometriebedingung vor. Diese Gleichung heisst Killing-Gleichung und deren L?sungen Killing-Vektorfelder. Die Kenntnis aller Killing-Felder beschreibt also s?mtliche raumzeitlichen Symmetrieeigenschaften der Metrik. Als Beispiel m?ge die Kerr-Metrik dienen: Stationarit?t ist eine Symmetrie, die die Erhaltung der Energie nach sich zieht; Axialsymmetrie bewirkt die Erhaltung des Drehimpulses. Es existieren demnach in diesem Fall zwei Killing-Vektorfelder.
Noch h?her ist die Symmetrie der Minkowski-Metrik, die die flache, materiefreie Raumzeit beschreibt: Sie besitzt sogar zehn Killing-Vektorfelder und damit eine erwartungsgem?ss hohe Symmetrie!
M?chte man sich die Einsteinschen Feldgleichungen f?r den Vakuumfall etwas einsehbarer bzw. praktischer hinschreiben, so muss man lediglich die Definition des Einstein-Tensors kennen: Er ist n?mlich gerade die Differenz aus Riemannschen Kr?mmungstensor und dessen Verj?ngung, der skalaren Kr?mmung, dem Ricci-Skalar.
Den Riemannschen Kr?mmungstensor erh?lt man wiederum aus einer Summe von partiellen Ableitungen der Christoffel-Symbole. Hier kommt nun die Verkn?pfung zur Metrik, die eindeutig durch den metrischen Tensor oder dem Linienelement festgelegt wird: die Christoffel-Symbole sind wiederum Summen aus Ableitungen von Komponenten des metrischen Tensors!
Die Konsequenz ist offensichtlich: der Einstein-Tensor ist grob gesagt eine Summe aus partiellen, zweiten Ableitungen des metrischen Tensors. Daher ist der metrische Tensor fundamental und legt alle Eigenschaften einer gekr?mmten, vierdimensionalen Raumzeit fest.
Hier nun eine Bemerkung zur Speziellen Relativit?tstheorie (SRT): Der metrische Tensor wird hier durch die Minkowski-Metrik festgelegt und hat eine denkbar einfache Gestalt: die nicht-diagonalen Elemente des metrischen Tensors geschrieben als 4 x 4 Matrix sind alle null. Auf der Diagonale stehen wiederum nur konstante Zahlen und keine koordinatenabh?ngigen Funktionen. In einer m?glichen Konvention steht zum Beispiel als zeitliche Komponente +1 und bei allen r?umlichen Diagonalelementen -1 (man sagt auch die Signatur der Metrik ist +,-,-,-). Das bedeutet demnach: alle Ableitungen (nach Zeit- und Raumkoordinaten) dieser konstanten Eintr?ge sind null. Nach den obigen Ausf?hrungen verschwinden damit zun?chst die Christoffel-Symbole. Dann ist aber auch der Riemannschen Kr?mmungstensor null, und dessen Verj?ngung, die skalare Kr?mmung auch. Man sagt: die Raumzeit der SRT, der Minkowski-Raum, ist flach.
Bei Schwarzen L?chern gilt das nur im asymptotischen Limit, d.h. wenn man sehr weit entfernt ist vom Schwarzen Loch. Die Schwarzschild-L?sung und die Kerr-L?sung sind f?r Radien r gegen unendlich asymptotisch flach.
In der N?he des Schwarzen Loches werden die Kr?mmungen ausserordentlich stark und divergieren sogar im Zentrum: in der zentralen Singularit?t ist die Kr?mmung unendlich!
Quelle: http://www.vfgp.de/