Die Relativit?tstheorie
Eine erste ad?quate mathematische Beschreibung Schwarzer L?cher gelingt mit der Allgemeinen Relativit?tstheorie (ART) (engl. General Relativity, GR). Diese Theorie geht auf den vermutlich bekanntesten Physiker ?berhaupt zur?ck: Albert Einstein (1879 - 1955). Er entwickelte die ber?hmte Relativit?tstheorie in zwei Teilen: der Speziellen und der Allgemeinen Relativit?tstheorie. Einstein war nach seinem Physikstudium ab 1901 Patentbeamter in Bern und fand neben dieser Arbeit viel Zeit, um sich mit der theoretischen Physik zu besch?ftigen. Ein wesentliches Interessengebiet war das Licht und so z.B. die Frage, was man bei einem gedanklichen "Ritt auf einem Lichtstrahl" wahrnehmen w?rde. Diese harmlos anmutende Frage, konnte kein Physiker der damaligen Zeit angemessen beantworten. Die Suche nach einer Antwort dieses Gedankenexperiments m?ndete in die Spezielle Relativit?tstheorie (SRT) (engl. Special Relativity, SR). Die Grundpfeiler dieser Theorie ver?ffentlichte Einstein in der wissenschaftlichen Zeitschrift Annalen der Physik mit dem Titel "Zur Elektrodynamik bewegter K?rper" im Jahre 1905. Die SRT vergleicht die Messung von Ereignissen, die durch Orts- und Zeitkoordinaten festgelegt sind, in verschiedenen Bezugssystemen. Verschiedene Bezugssysteme bewegen sich in der SRT relativ zueinander mit einer gleichf?rmig geradlinigen Geschwindigkeit. Dabei zeigt sich, dass in allen diesen Bezugsystemen (Inertialsystemen) die Lichtgeschwindigkeit eine Konstante ist. Diese Tatsache hat weitreichende Konsequenzen: Wenn die Lichtgeschwindigkeit eine Konstante ist, so m?ssen andere Gr?ssen variieren. Es stellt sich heraus, dass dies in eine Relativit?t der Zeit (auch der Gleichzeitigkeit) und eine Relativit?t der L?nge m?ndet. Die klassisch unverst?ndlichen Effekte Zeitdilatation und L?ngenkontraktion sind Belege f?r die Relativit?t von Zeit und L?nge. Dies gab der Relativit?tstheorie ihren Namen. Die Zeit verlor damit ihren absoluten Charakter, den schon Aristoteles und sp?ter Sir Isaac Newton postulierten: Zeit ist eine relative Gr?sse. Ausserdem verlor die Zeit ihre Eigenst?ndigkeit: Zeit und Raum h?ngen eng miteinander zusammen und bilden in der Relativit?tstheorie ein Kontinuum, das so genannte Raum-Zeit-Kontinuum. In der SRT ist dieses Kontinuum flach, d.h. ungekr?mmt, und wird durch die Minkowski-Metrik beschrieben. Die Flachheit ist gerade eine Folge davon, weil die SRT eine Theorie im relativistischen Vakuum (der Energie-Impuls-Tensor verschwindet) ist.
Die zentrale Gleichung der SRT und die wohl ber?hmteste Gleichung der Physik ist das Masse-Energie-?quivalent. Als mathematische Gleichung lapidar geschrieben als
Diese Gleichung findet sich in dem Papier "Ist die Tr?gheit eines K?rpers von seinem Energieinhalt abh?ngig?", ebenfalls publiziert in den Annalen der Physik im Jahr 1905 - in Einsteins Wunderjahr (annus mirabilis). Die Masse ist also eine Energieform, so wie Strahlungsenergie, W?rmeenergie oder kinetische Energie auch. Aber neben dieser Aussage gibt eine weitere, wichtige Folgerung: aufgrund der G?ltigkeit dieser Gleichung besitzt auch eine relativ in Ruhe befindliche Masse (Relativgeschwindigkeit null) eine nicht verschwindende Ruheenergie. Man liest ab, dass bereits sehr kleine Massen durch die enorme Zahl "Lichtgeschwindigkeit im Quadrat" (etwa 1017 m2/s2) eine ausserordentlich hohe Ruheenergie haben.
Der Begriff der Raumzeit wurde in der Allgemeinen Relativit?tstheorie erweitert. Hier kann die vierdimensionale Mannigfaltigkeit, bestehend aus drei Raumdimensionen (L?nge, Breite, H?he) und einer Zeitdimension, gekr?mmt sein. Das geschieht genau dann, wenn eine Form von Energie (Masse, elektromagnetische Strahlung, Staub etc.) vorhanden ist. Sie erzeugt eine gekr?mmte Raumzeit. Physiker sagen: Energie (Masse) ist die Quelle der Gravitation. Die Kr?mmung wird gerade dort besonders gross, wo sich die Energie befindet. Die Einsteinschen Feldgleichungen geben nun einerseits Auskunft dar?ber, wo die Raumzeit Kr?mmungen aufweist und wie stark diese sind. Andererseits sagen die Gleichungen auch, wie sich die Kr?mmungen auf die Energie auswirken. Diese komplizierte, gegenseitige Kopplung von Raumzeit an Energie und Energie an Raumzeit macht gerade den nicht-linearen Charakter der Feldgleichungen aus.
Die Entwicklung der Allgemeinen Relativit?tstheorie kostete Einstein enorme Anstrengungen, wie man anhand des viel sp?teren Publikationsjahrs 1915 erahnen kann. Dies liegt am mathematischen Formalismus der Relativit?tstheorie, der Tensor-Rechnung. Zwar findet dieser bereits in der SRT Anwendung, wird jedoch in der ART komplizierter und auch umfangreicher. Der Mathematiker Marcel Grossmann, Einsteins Freund und Kommilitone zur Zeit seines Physikstudiums, lehrte ihn den Umgang mit Tensoren. Es handelt sich dabei um Gr?ssen der Differentialgeometrie, die auf einer vierdimensionalen Mannigfaltigkeit definiert werden und bestimmten Transformationsgesetzen gen?gen. Die Skalare, Vektoren und Matrizen der Linearen Algebra sind ebenfalls Tensoren, allerdings niedriger Stufe. Die Differentialgeometrie kennt weit kompliziertere Tensoren, die immer als eine wohldefinierte Anordnung von Zahlen und Funktionen geschrieben werden k?nnen. Die Tensoren der ART sind recht anschauliche Objekte, die mit einer physikalischen Gr?sse, wie der Energie (Energie-Impuls-Tensor), der Raumkr?mmung (Riemannscher Kr?mmungstensor) oder dem elektromagnetischen Feld (Maxwell-Tensor bzw. Faraday-Tensor) in Verbindung stehen. Die Raumzeit selbst, die Metrik, wird durch den metrischen Tensor beschrieben.
Die Allgemeine Relativit?tstheorie ist in dem Sinne als allgemein zu verstehen, weil die relative Bewegung der Bezugssysteme zueinander (verglichen mit der SRT) verallgemeinert wird: die Inertialsysteme k?nnen gegeneinander beschleunigt werden. Ein fundamentales Postulat der ART ist das ?quivalenzprinzip. Es besagt, dass tr?ge und schwere Masse ?quivalent sind, d.h. dass es keinen Unterschied in der Bewegung macht, ob eine Masse beschleunigt wird (Tr?gheit) oder im Schwerefeld eines K?rpers f?llt (Schwere). Das E?tv?s-Experiment, ein Aufbau einer Drehwaage mit beweglichen Massen an einem Torsionspendel, best?tigte dieses Prinzip im Rahmen der experimentellen Genauigkeit. Ebenso ist eine gl?nzende Best?tigung des ?quivalenzprinzips, aber auch der ART an sich, die beobachtete Ablenkung von Strahlung im Schwerefeld von der Sonne und Planeten.
Das Konzept der Allgemeinen Relativit?tstheorie l?ste die alte, Newtonsche Sicht der Dinge ab, dass Gravitation die Vermittlung von Kr?ften zwischen Massen ist. Nach der ART ist die Gravitation eine geometrische Eigenschaft der Raumzeit. Die fundamentale Erkenntnis der ART ist:
Energie kr?mmt die Raumzeit
oder als Tensor-Gleichung geschrieben
Die Kopplungskonstante, die gerade dem Achtfachen der Kreiszahl Pi entspricht, folgt notwendigerweise aus einem Korrespondenzprinzip: Im Grenzfall schwacher Gravitationsfelder und kleiner Geschwindigkeiten gegen?ber der Lichtgeschwindigkeit muss die Einsteinsche in die Newtonsche Theorie ?bergehen. Dann kann man die Kopplungskonstante ableiten, indem man Einsteinsche Feldgleichungen mit der Poisson-Gleichung der Newtonschen Physik vergleicht.
Da schon die SRT zeigen konnte, dass Masse der Energie ?quivalent ist, kr?mmt auch die Masse die Raumzeit. Mit dieser Erkenntnis l?sst sich auch die zentrale Frage des Protagonisten in Goethes "Faust" beantworten:
"Das, was die Welt im Innersten zusammenh?lt, ist die Welt selbst."
Denn die Begr?ndung lautet, dass gem?ss der ART die Materie der Erde selbst (repr?sentiert durch den Energie-Impuls-Tensor T, der rechten Seite der Feldgleichungen) Raum und Zeit (die Raumzeit oder Metrik, eine vierdimensionale Mannigfaltigkeit, die in Form von Ableitungen im Einstein-Tensor G steckt, der linken Seite der Feldgleichungen) in der Umgebung der Erde so kr?mmen, dass ein selbstgravitierendes Objekt, die kugelige Erdmasse, resultiert. Alle irdische Energie bestimmt die Geometrie und zwar im relativistischen, aber auch direkten w?rtlichen Sinn (geos, grch.: "Erde", metros, grch.: "Mass")!
Schliessen wir nun den Bogen von der Relativit?tstheorie zu den Schwarzen L?chern:
Schwarze L?cher sind L?sungen der Vakuum-Feldgleichungen der Allgemeinen Relativit?tstheorie, sofern sie keine elektrische Ladung tragen. Setzt man die Metrik eines Schwarzen Loches in die Gleichungen ein, zeigt sich, dass der Einstein-Tensor (die "linke Seite" der Feldgleichungen) verschwinden muss.
Schwarze L?cher sind allgemein relativistische Objekte und als solche nur korrekt mit der ART zu beschreiben. Man kann zwar den Horizontradius nicht-rotierender Schwarzer L?cher auch mit den Mitteln der klassischen, Newtonschen Theorie ableiten, muss aber das korrekte Ergebnis als Zufall werten. Neuere Theorien, die historisch gesehen der ART folgten, wie die Stringtheorien und die Loop-Quantengravitation erlauben auch eine Behandlung von Schwarzen L?chern.
Bei den kompakten Objekten der Astrophysik (Weisser Zwerg, Neutronenstern, Quarkstern etc.) im Allgemeinen und den Schwarzen L?chern im Speziellen, sind Materie bzw. Energie auf kleinstem Raum vereinigt. Daher ist die Kr?mmung der Raumzeit bei diesen Objekten besonders hoch. Anschaulich argumentiert ist die Kr?mmung am Horizont Schwarzer L?cher so hoch, dass die Lichtstrahlen auf das Innere des Schwarzen Loches "gebogen" werden. Die Trajektorien der Strahlung, die so genannten Nullgeod?ten, zeigen auf die zentrale Singularit?t. In diesem Punkt (bzw. auch in einem unendlich d?nnen Ring, wenn das Loch rotiert, einer weiteren intrinsischen Singularit?t!) steckt die gesamte Masse eines Schwarzen Loches. In diesem singul?ren Punkt der Raumzeit wird sogar die Kr?mmung unendlich. Dieses Ergebnis zeigt somit die Grenzen der Relativit?tstheorie auf und deutet auf eine ?bergeordnete Theorie hin, nach der bereits seit Jahrzehnten fieberhaft gesucht wird. Bisher ohne Erfolg!
p.s.: Die relativistisch korrekte Antwort auf die Eingangsfrage, was man beim Ritt auf einem Lichtstrahl sehen w?rde lautet: Nichts! Oder anders gesagt: Photonen altern nicht! Der Lorentz-Faktor divergiert, wenn die Ausbreitungsgeschwindigkeit gleich der Lichtgeschwindigkeit (v = c) wird, und die "Dehnung des Zeitflusses" (Zeitdilatation) geht gegen unendlich, w?hrend die Verk?rzung von L?ngenmassst?ben (L?ngenkontraktion) gegen null geht.
Quelle