@all
In Bezug auf Phasenverschobeners Beispiel
Das ist es, was ich mit dem Absatz
Zitat
Dimension ist in der Mathematik ein eher abstraktes Konstrukt, welches man Vektorräumen (und ein paar anderen Strukturen, die hier aber weniger wichtig sind) zuordnet. Der Grund, warum man diesen Begriff gewählt hat, liegt im Wesentlichen darin begründet, dass für die Dinge, für welche man Vektorräume "ursprünglich" zur mathematischen Beschreibung verwendet hat, der Dimensionsbegriff eine halbwegs vernünftige Beschreibung dessen darstellt, was man "im Volksmund" unter Dimension versteht.
Als jedoch die mathematische Forschung fortschritt, hat man Vektorräume auch zur Beschreibung von Phänomenen eingesetzt, für welche es "in der normalen Welt" kein vernünftig vorstellbares Analogon gibt - die mathematische Struktur ist jedoch exakt die selbe, weshalb man die ganzen Begriffe weiter verwendet.
ausdrücken wollte.
Ich ein Anhänger der Meinung, dass man derartige Beispiele nicht "unter Laien" sähen sollte, weil wenn man nicht über das Hintergrundwissen verfügt, wird man rein gar nichts verstehen (siehe Reaktionen auf Phasenverschobeners Post).
Stattdessen sollte man sich zuerst über den theoretischen Hintergrund klar werden sollte und *dann* mit solchen "für die Anschauung ungewohnten" Beispielen konfrontiert werden sollte (es gibt hier auch andere Meinungen!!!)
Da jedoch Phasenverschobener die Dose der Pandorra geöffnet hat, möchte ich trotzdem eine zumindest populärwissenschaftliche Erklärung abgeben, wie man auf solche Dinge kommt (wer hier mehr Ahnung hat, möge mir gewisse mathematische Unpräzisionen verzeihen):
Erst einmal geht es um die Frage: inwieweit kann man in gewisser Art Objekte einer Menge durch erheblich weniger Elemente und ein paar Operationen erzeugen.
Gleich mal ein Beispiel: wir haben die Menge {1} und die Operationen +, - gegeben.
Damit können wir alle ganzen Zahlen erzeugen: Bsp: -4=-(1+1+1+1)
(primitiv, ich weiß)
Ebenso können wir jedoch auch, wenn wir die Menge {2,3} und die Operationen +, - gegeben haben, alle ganzen Zahlen erzeugen (etwas schwieriger, aber noch einfach).
Beispiel: -4=-(3-2+3-2+3-2+3-2)
Eine Menge M (mit zugehörigen Operationen) heißt Erzeugendensystem einer anderen Menge N (mit zugehörigen Operationen, wenn sich jedes Element von N mittels Elementen aus M darstellen lässt.
Eine Frage, die besonders interessiert ist die: Ist die Größe eines Erzeugendensystems eindeutig bestimmt (in dem oberen Beispiel ist dies nicht der Fall: ich habe ein Erzeugendensystem der ganzen Zahlen der Größe 1 und eines der Größe 2 angegeben)? Und in welcher Art ist die Darstellung eines Elementes auf Basis von Elementen eines Erzeugendensystems (falls überhaupt) eindeutig?
Überraschenderweise (???) ist die Antwort auf beide Fragen für die mathematische Struktur der Vektorräume bekannt.
Hier zeigt sich, dass wenn ein Erzeugendensystem vorliegen hat, die Darstellung jedes Elements in gewisser Art auch eindeutig ist. Da die Vektorräume ursprünglich aus geometrischen Betrachtungen des "physikalischen" Raums heraus entwickelt wurden, hat sich für die Größe eines Erzeugendensystems eines Vektorraums der Begriff "Dimension" herausgebildet.
Ein Beispiel:
bei einer durch den Nullpunkt gehenden Fläche reicht ein Vektor nicht aus, um alle Punkte mittels der Vektorraumverknüpfungen zu beschreiben
(mit einem Vektor kann man bestenfalls eine Linie beschreiben; wenn es der Nullvektor ist, sogar nur den Nullpunkt). Daher braucht man man einen zweiten Vektor dazu. Damit lassen sich mittels der Vekorraumverknüpfungen alle Punkte der Fläche "im wesentlichen" eindeutig beschreiben ("im wesentlichen" bezieht sich darauf, dass man aus e_1+e_1 auch 2*e_1 schreiben kann - nur dass niemand den Eindruck hat, ich würde irgendetwas verschweigen wollen). Daher hat eine durch den Nullpunkt gehende Fläche die Dimension 2 (analog kann man dies auch für beliebige Flächen machen - hier ist die mathematische Struktur jedoch komplizierter).
Wie ich jedoch hoffentlich klar gemacht habe, ist der Begriff der Dimension ein sehr allgemeiner Begriff. Wenn man Vektorräume zur Darstellung der 3- oder 4- (je nachdem, ob man Zeitachse dazu nimmt oder nicht) -dimensionalen Realität verwendet, stimmt dieser mit den Alltagsgewohnheiten überein. Nichtsdestotrotz kann man mittels des mathematischen Dimensionsbegriffs auch viel allgemeineren Objekten eine Dimension zuordnen (wofür es auch sehr wichtige Anwendungen gibt - darauf möchte ich jedoch vorerst nicht eingehen, sonst schreibe ich endlos viele zu Tode langweilende Seiten
).
EDIT: Letzter Absatz gelöscht, stattdessen folgenden eingefügt:
Da sich der Dimensionsbegriff in der Mathematik als ein derartiges Erfolgsmodell erwies, geht man schon seit langem dazu über, ihn von Vektorräumen auf andere "ähnliche" Konstrukte auszudehnen. Manchmal muss man ein wenig dazu den Begriff verallgemeinern - aber es geht vielfach überraschend gut.