Bereits ein Jahr nach der Publikation der Einsteinschen Gleichungen der ART wurde auch schon eine L?sung f?r den Vakuumfall, also verschwindenden Energie-Impuls-Tensor, gefunden. Dieses rasche Auffinden einer L?sung erstaunte selbst Albert Einstein, weil er nicht damit gerechnet hatte: die nicht-linearen Feldgleichungen erschienen ihm zu kompliziert.
Der deutsche Astronom Karl Schwarzschild (1873-1916) fand diese erste L?sung und ver?ffentlichte sie 1916 in der Publikation mit dem Titel "?ber das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie". Heute kennt man diese Raumzeit unter dem Begriff ?ussere Schwarzschild-L?sung. Sie beschreibt das relativistische Gravitationsfeld eines Massenpunkts und ist die Metrik nicht-rotierender, ungeladener Schwarzer L?cher. Der Massenpunkt mit Masse M ist eine idealisiertes Gebilde, weil seine gesamte Masse in einem beliebig kleinen Punkt komprimiert ist. Das Schwarze Loch vom Schwarzschild-Typ hat hier seine zentrale, intrinsische Singularit?t. Wie man schnell am Linienelement ablesen kann, das die Metrik eindeutig beschreibt, ist sie statisch und kugelsymmetrisch. In Matrixform hat der metrische Tensor der Schwarzschild-Geometrie eine sehr einfache Gestalt und ist wie der metrische Tensor der Minkowski-Metrik diagonal. Im Unterschied zu diesem sind die Eintr?ge nicht konstant, sondern koordinatenabh?ngig und divergieren bei r = 0, in der zentralen Singularit?t.
Nach dem Birkhoff-Theorem ist jede sph?risch symmetrische Vakuum-L?sung der Einsteinschen Feldgleichungen notwendigerweise statisch. Das gilt also im Speziellen f?r die ?ussere Schwarzschild-L?sung.
Ebenfalls im Jahr 1916 ver?ffentlichte Karl Schwarzschild eine zweite L?sung der Einsteinschen Gleichung in dem Papier "?ber das Gravitationsfeld einer Kugel aus inkompressibler Fl?ssigkeit nach der Einsteinschen Theorie". Dies ist gerade die innere Schwarzschild-L?sung. Schwarzschild nahm in der L?sung Abstand vom zuvor beschriebenen Massenpunkt und setzte eine Kugel an, die aus einer inkompressiblen Fl?ssigkeit mit zeitlich konstanter Massendichte bestehen m?ge. Dadurch ist es keine Vakuumraumzeit mehr, weil der Energie-Impuls-Tensor nun nicht mehr verschwindet. Trotzdem hat er eine relativ einfache Gestalt und ist diagonal. Die Fl?ssigkeitskugel hat einen endlichen Radius, an deren Oberfl?che der Druck verschwindet. Ausserhalb der Kugel entspricht die Metrik der ?usseren Schwarzschild-L?sung, w?hrend innerhalb nun eine neue kugelsymmetrische Metrik ohne Singularit?t auftritt. Die globale sph?rische Symmetrie ist demnach innerhalb und ausserhalb der Kugel gegeben. Die innere Schwarzschild-L?sung ist jedoch nicht mehr statisch. Diese Aussage kollidiert nicht mit dem Birkhoff-Theorem, weil dieses Theorem nur f?r Vakuum-L?sungen der ART gilt.
Man kann diese Schwarzschild-Geometrie nutzen, um in erster N?herung das Gravitationsfeld von Sternen relativistisch zu beschreiben. W?hrend die ?ussere Schwarzschild-Geometrie das Feld ausserhalb des Sterns beschreibt, gelingt mit der inneren Schwarzschild-L?sung sogar eine Umsetzung des inneren Feld, unterhalb der Sternoberfl?che. Man identifiziert also die Sternoberfl?che mit der Kugeloberfl?che der idealen, d.h. inkompressiblen Fl?ssigkeit. Die Restriktionen einen solchen Sternmodells sind freilich die inkompressible Zustandsgleichung und die Tatsache, dass die Kugel nicht rotiert. Heute kennt man in der Theorie Relativistischer Sterne weitaus bessere L?sungen, die rotierende Neutronensterne (Manko et al., 2000) und stark magnetisierte Neutronensterne, die Magnetare, (Ioka & Sasaki, 2003) beschreiben k?nnen.
Es sei nochmals betont, dass aufgrund der vorhandenen Singularit?t, nicht-rotierende Schwarze L?cher ausschliesslich durch die ?ussere Schwarzschild-Geometrie repr?sentiert werden.
Die Schwarzschild-L?sung kann in einer Vielzahl von Koordinatensystemen diskutiert werden. Historisch wurde von verschiedenen Autoren unterschiedliche Koordinatensysteme gefunden, die unter ihrem Namen bekannt geworden sind.
Der Astrophysiker Sir Arthur Eddington (1882-1944), einer der ersten Physiker, der nach Einstein die Relativit?tstheorie begriff und der wertvolle Beitr?ge f?r die theoretische Astrophysik (Eddington-Limit, Stellarphysik) lieferte, f?hrte 1924 ein Koordinatensystem ein, das David Finkelstein 1958 wieder entdeckte. In diesen Eddington-Finkelstein-Koordinaten werden frei fallende Photonen zugrunde gelegt, die den Nullgeod?ten der Schwarzschild-Geometrie folgen. F?r Photonen verschwindet das Linienelement, weil sie sich auf dem Lichtkegel in Raumzeit-Diagrammen bewegen. In Eddington-Finkelstein Koordinaten werden radiale Nullgeod?ten zu Geraden. Man unterscheidet avancierte Eddington-Finkelstein-Koordinaten, die innerhalb des Ereignishorizontes bei r = 2 rg nicht-pathologisch, d.h. geeignet, sind und retardierte Eddington-Finkelstein-Koordinaten, die f?r Geod?ten ausserhalb des Horizonts verwendet werden. Zur Beschreibung des stellaren, sph?risch symmetrischen Gravitationskollapses verwendete man traditionsgem?ss avancierte (einlaufende) Eddington-Finkelstein Koordinaten (Schwarzschild-Metrik in avancierter Eddington-Finkelstein Form). Mittlerweile haben sich alternative, besser geeignete Koordinatensysteme hervorgetan, die auch Abstand von der sicherlich idealisierten Kugelsymmetrie nehmen.
Die Unzul?nglichkeit von Eddington-Finkelstein-Koordinaten besteht offensichtlich darin, dass sie nicht global die Schwarzschild-Geometrie beschreiben. So suchte man ein Koordinatensystem, das sich in der gesamten Raumzeit gut ("nicht pathologisch") verh?lt und fand es in den Kruskal-Szekeres Koordinaten (1960). Hier werden radiale und zeitliche Koordinate zugunsten der neuen Koordinaten f?r ein- und auslaufende, radiale Nullgeod?ten aus den Eddington-Finkelstein-Koordinaten aufgegeben. Diese werden abermals mit Exponentialen korrigiert, um pathologisches Verhalten am Horizont auszur?umen. Schliesslich wird daf?r gesorgt, dass es keine Nullkoordinaten sind, sondern die neue radiale Koordinate vom Typ her raumartig und die neue Zeitkoordinate zeitartig bleibt. Dann erh?lt man die Kruskal-Szekeres Koordinaten und das Linienelement der Schwarzschild-L?sung in Kruskal-Szekeres Koordinaten. Das Erstaunliche in diesem Koordinatensystem ist, dass man nun nicht mehr eine Singularit?t (definiert durch r = 0) hat, wie in den historischen Schwarzschild-Koordinaten, sondern zwei Singularit?ten, fixiert durch die Bestimmungsgleichung v2 - u2 = 1. Ebenso korrespondieren zur asymptotisch flachen Region r >> 2M zwei solche Regionen, definiert durch u >> +|v| sowie u << -|v|. Diese seltsame Eigenschaft war ein Hinweis darauf, dass die Schwarzschild-L?sung nur ein Ausschnitt einer gr?sseren Mannigfaltigkeit ist! Daher sind die Kruskal-Szekeres Koordinaten die maximale analytische Fortsetzung der Schwarzschild-L?sung. Man nennt die ?bergeordnete Mannigfaltigkeit, die die Schwarzschild-L?sung einschliesst, die Kruskal-L?sung. Diese duale Struktur der Schwarzschild-Geometrie fand J.L. Synge bereits 1950, 10 Jahre vor Einf?hrung der Kruskal-Szekeres Koordinaten.
Kommen wir noch einmal auf die beiden asymptotisch flachen Regionen der Kruskal-L?sung zur?ck. Weil die die Einstein-Gleichung der ART nur die lokale Geometrie der Raumzeit vorgibt, nicht jedoch deren globale Topologie, kann man die beiden asymptotisch flachen Regionen zu einer einzigen asymptotisch flachen Mannigfaltigkeit "verbinden". Dies nennt man auch ein Wurmloch vom Schwarzschild-Typ. In der Literatur kennt man das Schwarzschild-Wurmloch auch als Einstein-Rosen Br?cke.
Da die Schwarzschild-L?sung gewissermassen ein Spezialfall der Kerr-L?sung ist (Kerr-Parameter a = 0), k?nnen viele Aussagen des n?chsten Abschnitts auf die Schwarzschild-L?sung bezogen werden. Von besonderem Interesse ist der Verlauf der Boyer-Lindquist Funktionen sowie eine Reinterpretation des Frame-Dragging Effekts im Schwarzschild-Fall.
Quelle: http://www.vfgp.de/
